Приближение функций класса Wr Hω суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам

Abstract

Пусть {Фn(τ)}∞n=0 - ортонормированная на [0, 2π] с весом ϕ система тригонометрических полиномов, полученная из последовательности 1, cosτ, sinτ, cos2τ, sin2τ, . . . методом ортогонализации Грама-Шмидта; Ck(F) - к-й коэффициент Фурье, а Sϕ,n,(F;θ) = c0(F)Φ0(θ)+...+ cn(F)Φn(θ) - n-я сумма Фурье функции F по рассматриваемой системе; Lϕ,n(θ) - функция Лебега сумм Sϕ,2n(F;θ) Wr Hw - класс 2π-периодических функций, у которых модуль непрерывности r-й (r Є Z+) производной не превосходит заданного модуля непрерывности w. Для широкого класса весов ϕ с особенностями, порядки которых задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности, доказано, что отношение величин sup{|F(θ) — Sϕ,2n(F; θ)|; F Є Wr Hw} и п-гw(n-1)Lϕ,n(θ) заключено между положительными константами, не зависящими от n Є N и θ Є R. Этот результат для обобщенного веса Якоби ранее получил В. М. Бадков.

Let {Фn(τ)}∞n=0 be the system of trigonometric polynomials orthonormal on the segment [0, 2π] with respect to a weight ip obtained by the Gram-Schmidt orthogonalization method from the sequence 1, cosτ, sinτ, cos2τ, sin2τ,... ; let Ck{F) be the к-th Fourier coefficient and Sϕ,n,(F;θ) = c0(F)Φ0(θ)+...+ cn(F)Φn(θ) the n-th Fourier sum of a function F with respect to this system; let Lϕ,n(θ) be the Lebesgue function of the sums Sϕ,2n(F;θ). By Wr Hw we denote the class of 2π-periodic functions or which the modulus of continuity of the τ-th (r Є Z+) derivative does not exceed the prescribed modulus of continuity w. For a wide class of the weights ϕ with singularities, whose orders are given by finite products of real degrees of concave moduli of continuity, we prove that the rate between the magnitudes sup{|F(θ) — Sϕ,2n(F; θ)|; F Є Wr Hw} and п-гw(n-1)Lϕ,n(θ) is bounded from below and above by positive constants that do not depend on n Є N and θ Є R This result for the generalized Jacobi weight was earlier obtained by V. M. Badkov.