Неравенства Бернштейна и Сеге для тригонометрических полиномов

Abstract

Дан обзор результатов, относящихся к точным неравенствам Бернштейна и Сеге для тригонометрических полиномов (на вещественной оси, а точнее, на периоде) и некоторым более общим неравенствам для тригонометрических полиномов и алгебраических многочленов на единичном круге комплексной плоскости; все эти неравенства можно интерпретировать как вычисление или оценки норм линейных операторов на множестве полиномов. Обозначенная тематика весьма обширна; отбор материала существенно отражает интересы автора. Наибольшее внимание уделено точным неравенствам в пространствах Lp при 0 ≤ p < 1. Обсуждаются также классические неравенства для тригонометрических полиномов относительно функционалов типа ϕ-нормы для двух важных классов функций ϕ.

The paper contains a survey on sharp Bernstein and Szego inequalities for trigonometric polynomials (on the real line or, more precisely, on the period) and certain more general inequalities for trigonometric polynomials and for algebraic polynomials on the unit circle of the complex plane. AH these inequalities can be interpreted as calculating or estimating norms of linear operators on the set of polynomials. This topic is very extensive; the selection of the materials essentially represents author’s interests. Much attention is paid to sharp inequalities in the spaces Lp for 0 ≤ p < 1. We also discuss classical inequalities for trigonometric polynomials with respect to ϕ-norm type functionals for two important classes of functions ϕ.