О новом классе некорректно поставленных задач

Abstract

Обсуждается важный класс некорректно поставленных задач, когда необходимо аппроксимировать (локализовать) положение особенностей решения уравнения первого рода. В качестве особенностей могут, в частности, выступать δ-функции или разрывы первого рода. Отмечается, что в связи с задачами обработки изображений построение алгоритмов выделения особенностей двумерных функций переживает бум. В то же время существующая теория не дает ответа на многие важные для практики вопросы. В первом разделе кратко приводится история вопроса и частично обсуждаются постановки прикладных проблем по выделению особенностей. Во втором разделе обсуждаются теоретические исследования по построению регуляризирующих алгоритмов выделения особенностей; без доказательства приводятся некоторые теоретические результаты, позволяющие понять специфику нового класса задач. Часть приводимых результатов анонсируется впервые.

We discuss a new class of ill-posed problems in which it is necessary to approximate (to localize) singularity positions for solutions of an equation of the first kind. In particular, δ-functions or discontinuities of the first kind may appear as singularities. We begin with a brief history of the question and a discussion of some applied problems. Then we describe regularizing methods for localization of singularities and estimate accuracy of these methods; no proofs are given. Some results are announced for the first time.