Обобщенное уравнение Веллмана в задаче оптимального управления с локально липшицевыми входными данными

Abstract

В работе приведено обоснование метода динамического программирования в нелинейной задаче оптимального управления ЗОУ с функционалом типа Майера и локально липшицевыми входными данными. Для функции оптимального результата (функции цены) получена репрезентативная формула и доказано свойство локальной липшицевости. Получено обобщение уравнения Веллмана в терминах полупроизводных Дини по направлениям, причем полученные равенства для функции цены выполняются во всех точках рассматриваемой полосы фазового пространства управляемой системы. (Последнее обстоятельство позволяет использовать эти соотношения для построения в задаче ЗОУ оптимального синтеза или, другими словами, оптимального управления по принципу обратной связи.) Полученные результаты обобщают известные соотношения, выраженные в терминах производных по направлениям, на случай локально липшицевой функции цены, не обладающей, вообще говоря, свойством дифференцируемости по любому направлению.

The paper deals with the justification of the dynamic programming method for nonlinear optimal control problems (OCP) with functionals of Mayer type and local lipschitz data. We provide a representative formula for the value function (the function of optimal result) and prove the property of local lipschitz continuity of the function. We obtain a generalization of the Bellman equation in terms of directional Dini semiderivatives. The corresponding equalities for the value function are satisfied everywhere in the considered domain of the phase space. The last fact serves as a basis for constructing of optimal feedbacks to OCP. The obtained results generalize well known relations in terms of directional derivatives. They are useful for the case of local lipschitz continuous value function that is not directional differentiable to any directions.