Обобщенный метод характеристик в задаче оптимального управления с липшицевыми входными данными

Abstract

В статье рассматривается задача оптимального управления нелинейной системой с функционалом платы Больца. Задача рассматривается в предположениях о липшицевости входных данных и одноэлементности множества аргументов операции минимума в формуле гамильтониана. В статье вводятся обобщенные характеристики, которые являются решениями дифференциальных включений, обобщающих обыкновенные дифференциальные уравнения для характеристик уравнения Беллмана. Вводится новая конструкция субдифференциала по направлению для негладкой функции. В терминах введенных конструкций получены необходимые и достаточные условия оптимальности направлений движения системы из заданной точки и репрезентативная формула для локально липшицевой функции цены в рассматриваемой задаче.

The paper deals with a nonlinear optimal control problem with the Bolz cost functional. The problem is considered under assumptions that data are Lipschitz continuous and the set of arguments of the minimization operation in the Hamiltonian formula is a singleton. We introduce generalized characteristics are introduced; they are defined as solutions of differential inclusions generalizing ODE’s for characteristics of the Bellman equation. We suggest a new notion of the subdifferential in a direction to be used for a nonsmooth function. The new constructions are applied to obtain necessary and sufficient optimality conditions for a direction of the considered dynamics at any initial state. We also provide a new representative formula for the local Lipschitz value function of the problem.