Неявные методы типа Рунге-Кутта для функционально-дифференциальных уравнений

Abstract

Предлагается новый подход к построению неявных методов типа Рунге-Кутта для общих систем с запаздыванием. Методы основаны на разделении конечномерной и бесконечномерной (функциональной) составляющих в фазовом состоянии систем с запаздыванием и интерполяции и экстраполяции дискретной модели. Порядок сходимости конкретного численного метода определяется двумя параметрами: порядком аппроксимации метода и порядком оператора интерполяции-экстраполяции. Определение порядка аппроксимации метода существенно опирается на понятия i-гладкого анализа. Предлагаемый подход дает возможность конструировать для функционально-дифференциальных уравнений численные методы, которые являются прямыми аналогами неявных методов Рунге-Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. В статье также обсуждаются возможности для параллельных вычислений в построенных методах.

We propose a new approach to constructing implicit Runge-Kutta type methods for general time-delay systems. The methods are based on separating finite dimensional and infinite dimensional (functional) components in the phase state of a time-delay system and on interpolating and extrapolating of a discrete model. The convergence order of a concrete numerical method is defined by two parameters: the approximation order of the method and the order of the interpolationextrapolation operator. Determining the approximation order of the method is essentially based on certain notions of the i-smooth analysis. The proposed approach allows to construct, for functional differential equations, numerical methods that are direct analogues of implicit Runge-Kutta methods for ordinary differential equations. We also discuss possibilities for parallel computations in the constructed methods.