К вопросу о точной оценке погрешностей метода средних функций в задаче дифференцирования

Abstract

Рассматривается проблема построения регуляризующего алгоритма (РА) методом средних функций для задачи аппроксимации m-й производной при условии приближенно заданной функции в пространстве непрерывных функций с чебышевской нормой. На классе функций с ограниченной (m + p )-й производной получена точная формула для погрешности РА. В частном случае m = 1, р = 1 дан отрицательный ответ на вопрос о существовании оптимального метода на рассматриваемом классе и показана возможность построения РА, сколь угодно близкого к оптимальному.

We consider the problem of constructing a regularizing algorithm for approximation of the m-th derivative of a noisy function in the space of continuous functions with Chebyshev’s norm. An exact formula for the error of such a regularizing algorithm was obtained for the class of functions whose (m+p)-th derivative is bounded. In the special case m = 1, p = 1, the question about the existence of an optimal method for the class under investigation is solved in the negative, and it is proved that there exists a regularizing algorithm which is arbitrarily close to the optimal method.