О наилучшей константе в неравенстве разных метрик для алгебраических многочленов от нескольких переменных

Abstract

В работе изучается точная константа Kp(n), n=(n1, . . . ,nm), в неравенстве разных метрик ||Qn||pKp(n)||Qn||o для алгебраических многочленов Qn(z1, . . . ,zm) от m комплексных переменных с комплексными коэффициентами степени Nj по переменной Zj, 1≤j≤m, на поликруге Кm, где K - замкнутый единичный круг комплексной плоскости. Получено точное значение константы в случае р = ∞ и р = 2r, где r - натуральное число. Описано множество многочленов, на которых достигается равенство.

We study the exact constant «Kp(n), n = (n1,. . . ,nm), in the different metrics inequality ||Qn||p≤Kp(n)||Qn||o for algebraic polynomials Qn(z1, • • • , zm) in m complex variables with complex coefficients, of degree Nj in the variable Zj, 1≤j≤m, on the polydisk Km, where K is the unit disk of the complex plane. The exact constant is given for p = ∞ and p = 2r, where r is a natural number. We also describe the set of polynomials for which the inequality turns into equality.