Обобщенное неравенство моментов для комплексных степеней замкнутых операторов

Abstract

Пусть .A - линейный замкнутый действующий в банаховом пространстве плотно определенный оператор. Предполагается известной оценка нормы резольвенты R (λ) этого оператора в области специального вида, содержащей неположительную вещественную полуось (но не обязательно угловой сектор). С помощью интегральных представлений операторов вида .AzRm(λ) и оценок их норм, полученных авторами в других работах, устанавливаются неравенства, близкие к неравенствам моментов, в ситуациях, в которых эти неравенства не были известны. Отдельно рассмотрен случай нормального оператора в гильбертовом пространстве. Установлена эквивалентность двух определений степени нормального оператора (с использованием интеграла типа Коши и спектрального представления) и уточнены неравенства моментов.

Let .A be a closed linear densely defined operator in a Banach space. We assume that an estimate of the resolvent norm is known in a domain on the complex plane that contains the non-positive half-line (but need not be an angular domain). Inequalities similar to moment inequalities are obtained with the help of integral representations of operators of the kind .AzRm(λ) and estimates of theirs norms found by the authors in their earlier works. The case of a normal operator in a Hilbert space is studied separately. We show that two definitions of the power of a normal operator power (the one based on the Cauchy type integral and the one using the spectral representation) are equivalent and improve the moment inequalities.