Устойчивость решения линейных дифференциальных уравнений высоких порядков с периодическими коэффициентами

Abstract

Рассматривается вопрос устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения dnx/ dtx + μp{t)x = 0 с ω-периодической интегрируемой кусочно непрерывной функцией p(t) и малым параметром μ при n ≥ 3. Приводится достаточный критерий устойчивости решения уравнения при n = 3 и μ = 1, являющийся обобщением известного критерия Ляпунова. Доказана неустойчивость нулевого решения при n = 4 и μ = 1. Показано, что при всех n > 4 не существует нулевой зоны устойчивости решения этого уравнения.

We consider the stability problem for the trivial solution of the differential equation dnx/dtn + μp(t)x = 0. Here p(t) is an ω-periodic integrable piecewise continuous function and μ is a small parameter, n ≥ 3. We obtain a stability criterion for the solution of the equation for n = 3 and μ = 1. This criterion generalizes the well known Lyapunov criterion. We prove that the trivial solution for n = 4 and μ = 1 is unstable. Also we show that for all n > 4 no stability null-domain for this solution exists.