Трехмерное моделирование обратной задачи неустойчивости Рэлея-Бенара

Abstract

We consider the inverse (retrospective) problem of numerical modeling of a 3-dimensional slow thermoconvective motion of a viscous liquid whose density and viscosity depend on temperature (the inverse to the Rayleigh-Benard problem). The mathematical model of the process is described by quasistate equations of motion of a viscous non-uniform incompressible liquid, by transfer equations for density and viscosity, and by an equation of thermal balance. The numerical method for the Stokes equation is based on introducing a two-component vector potential for velocity of medium and applying the final elements method with a special basis from tricubical splines for calculating this potential. The transfer equations are solved by the characteristics method. The equation of thermal balance in the inverse direction of the time is solved by a variational method that actually consists in solving of a series of specially designed direct problems. The problem of thermal balance in direct time is solved by the method of fractional steps with the Crank-Nickolson scheme in three directions. We describe algorithms for numerical simulation of this problem oriented to multiprocessor computers and present the results of numerical experiments showing the time evolution in direct and inverse time.

Рассматривается обратная (ретроспективная) задача о моделировании трехмерных медленных термоконвективных движений вязкой жидкости с плотностью и вязкостью, зависящими от температуры (обратная задача к задаче Рэлея-Бенара). Математическая модель процесса описывается квазистационарными уравнениями движения вязкой неоднородной несжимаемой жидкости, эволюционными уравнениями переноса плотности и вязкости, уравнением теплового баланса. Численный метод решения уравнений движения среды основан на введении двухкомпонентного векторного потенциала скорости движения среды и применении метода конечных элементов со специальным базисом из трикубических сплайнов для расчета этого потенциала. Уравнения переноса решаются методом характеристик. Уравнение теплового баланса в обратном направлении времени решается вариационным методом, который фактически состоит в решении серии специально сконструированных прямых задач. В свою очередь, задача в прямом направлении времени решается методом продольно-поперечной прогонки с применением разностной схемы Кранка-Николсона по каждому из направлений. Алгоритмы численных расчетов ориентированы на применение компьютеров параллельного действия. Приводятся расчеты характерных примеров.