Решение абстрактной стохастической задачи Коши с генератором R-полугруппы

Abstract

Работа посвящена решению в гильбертовом пространстве Н стохастической задачи du(t) = Au(t)dt + BdW(t), t Є [0,T), T ≤ ∞, u(0) = ξ, где {W(t), t ≥ 0} - бесконечномерный аналог броуновского движения, называемый Q-винеровским процессом, оператор А является генератором R-полугруппы, а В - линейный ограниченный оператор в Н. Доказано необходимое для исследования задачи утверждение о том, что семейство операторов, сопряженных к R-полугруппе, образует R*-полугруппу. На основе метода, обобщающего метод Ито на случай бесконечномерных пространств, построено (слабое) решение. Найдены вероятностные характеристики решения.

The article is concerned with solving, in a Hilbert space H, the stochastic Cauchy problem du(t) = Au(t)dt + BdW(t), t Є [0,T), T ≤ , u(0) = ξ, where {W(t), t ≥ 0} is an infinitedimensional analogue of the Brownian motion called Q-Wiener process, the operator A is a generator of an R-semigroup, and В is a bounded linear operator in H. We prove that the family of operators conjugated to an R-semigroup forms an R*-semigroup. This fact is necessary for the investigation of the stochastic problem. A (weak) solution to the problem is constructed on the basis of an extension of the Ito method to the infinite- dimensional case. We find probabilistic characteristics of the solution.