Об устойчивости стохастически возмущенного двумерного тора

Abstract

Исследуется экспоненциальная устойчивость в среднем квадратичном двумерного инвариантного тороидального многообразия нелинейной стохастической системы. С использованием тороидально квадратичных функций Ляпунова вопрос об устойчивости 2-тора сводится к анализу разрешимости краевой задачи для матричного дифференциального уравнения Ляпунова. В связи с некоторым проектором для линейных стохастических систем вводится понятие P-устойчивости. Это позволяет придать критерию устойчивости тора форму теоремы об устойчивости по первому приближению. Получен алгебраический критерий, сводящий анализ устойчивости к отысканию спектрального радиуса некоторого положительного оператора. Для случая системы с одним шумом демонстрируется возможность получения конструктивных спектральных оценок. На основе спектрального подхода выведен параметрический критерий устойчивости 2-тора в трехмерном пространстве.

We consider the exponential mean square stability for the two-dimensional toroidal manifold of a nonlinear stochastic system. Using the techniques of toroidal quadratic Lyapunov functions, we reduce the stability analysis for a 2-torus to the decidability of a boundary-value problem for a matrix differential Lyapunov equation. For linear stochastic systems, we introduce the notion of P-stability. Thus yields a criterion of torus stability in the form of a first approximation stability theorem. We obtain an algebraic criterion for P-stability, thus reducing the stochastic stability analysis to estimating the spectral radius for some positive operator. Using the spectral approach, we give a parametric criterion of 2-torus stability for 3-dimensional systems.