Характеристическое уравнение в задаче устойчивости периодических систем с последействием

Abstract

Рассматривается линейная периодическая система дифференциальных уравнений с последействием dx(t)/dt = Jo-r dη(t,s)x(t + s), t € R+ = [0,+оо), где х : [—г, + оо) —► Rn, г > 0. Матричная функция η локально измерима по Лебегу на множестве R+ х [—г ,0] и является ω-периодической функцией t, ω > 0; η(-,‘0) = 0. Функция η(t, - ) имеет конечную вариацию v(t) = Vаг[—r,0] η(t, -) для почти всех t € R+ . Функция v локально интегрируема на R+. Устойчивость решений указанной системы зависит от спектральных свойств степени оператора монодромии Um, mω ≥ 2r, m — натуральное число. Оператор Um рассматривается в специальном гильбертовом пространстве. Мы предлагаем эффективные процедуры для построения характеристического уравнения и для нахождения собственных чисел оператора Um. Эти процедуры позволяют свести задачу асимптотической устойчивости решений рассматриваемой системы к проблеме Рауса-Гурвица (в случае единичного круга) для целой (или аналитической) функции.

We consider the linear periodic system of differential equations with aftereffect dx(t)/dt = Jo-r dη(t,s)x(t + s), t € R+ = [0,+оо), where х : [—г, + оо) —► Rn, г > 0. The matrix function η is measurable on each compact subset of R+ x [—r, 0] and is ω-periodic in t, ω > 0; η(-,‘0) = 0. The function η(t, - ) has a bounded variation v(t) = Vаг[—r,0] η(t, -) for almost every t € R+. The function v is Lebesgue integrable on each compact subset of R+. The solution stability of the aforementioned system depends on spectral properties of the power Um of the monodromy operator, mω ≥ 2r, mis a natural number. The operator Um is considered in a special Hilbert space. We propose effective procedures for constructing the characteristic equation arid for finding eigenvalues for the operator Um. These procedures allow to reduce the asymptotic sinbility problem for the system to the Routh-Hurwitz problem (in the case of the unit disk) for an entire (or analytic) function.